实数的三角不等式
2020-07-03

若 \(a,b\) 为实数,\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\),“\(=\)”成立时,\(ab\ge 0\)。(此不等式可以利用三角形的两边之和大于第三边来理解,因此,称之为三角不等式。)

证明:

因为 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 0,~\left| {a + b} \right| \ge 0\),直接相减或相除无法顺利运算,因此,考虑平方相减

\(\begin{array}{ll}{\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} – {\left| {a + b} \right|^2} &= \left( {{{\left| a \right|}^2} + 2\left| a \right|\left| b \right| + {{\left| b \right|}^2}} \right) – {\left( {a + b} \right)^2}\\&= \left( {{a^2} + 2\left| {ab} \right| + {b^2}} \right) – ({a^2} + 2ab + {b^2})\\&= 2\left( {\left| {ab} \right| – ab} \right) \ge 0\end{array}\)

因此,\({\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} \ge {\left| {a + b} \right|^2}\),即 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

“\(=\)”成立时, 即 \(\left| {ab} \right| – ab = 0\)移项得 \(\left| {ab} \right| = ab\),\(\therefore ab\ge 0\)。

若将上述的 \(b\) 用 \(-b\) 代入,则三角不等式可以转换成 \(\left| a \right| + \left| { – b} \right| \ge \left| {a + ( – b)} \right|\),

整理得 \(\left| {a – b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\),“\(=\)”成立时,\(ab\le 0\),此为三角不等式的等价命题。

我们也可以进一步改写成若 \(a,b\)为实数,则 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a – b} \right|\ge\left| a \right| – \left| b \right|\)。

证明:

利用  \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|{x+y}\right|\)

由 1.2. 知:\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a – b} \right|\ge\left| a \right| – \left| b \right|\)。

教学上常出现利用三角不等式求最小值的问题,

例如:若 \(x\) 为实数,则当 \(x=\underline{~~~~~~}\)时,求 \(\left| x-1 \right| +\left | x-2 \right|\) 有最小值。

解法一:利用三角不等式,

\(\because\left| {x – 1} \right| + \left| {x – 2} \right| = \left| {1 – x} \right| + \left| {x – 2} \right| \ge \left| {(1 – x) + (x – 2)} \right| = \left| { – 1} \right| = 1\),等号成立时,\((1-x)(x-2)\ge 0\),即 \((x-1)(x-2)\le 0\) ,得 \(1\le x \le 2\)。

解法二:考虑 \(\left| x-1 \right|\) 的几何意义为数线上,有一个点 \(x\) 到 \(1\) 的距离,
所以 \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\),即为点 \(x\) 到 \(1\) 与到 \(2\) 的距离和,从实际数线上可看出,
当 \(1\le x\le 2\) (两数的中位数)时,\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\) 有最小值 \(1\)。

实数的三角不等式

解法三:考虑去绝对值,令

\(y = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2,y = (x – 1) + (x – 2) = 2x – 3\\ 1 \le x < 2,y = (x – 1) + (2 – x) = 1\\ x < 1,y = (1 – x) + (2 – x) = 3 – 2x \end{array} \right.\)

实数的三角不等式

将绝对值函数转换成折线问题,从图形中可以看出,在 \(1\le x \le 2\) 时,\(\left| x-1\right|+\left| x-2\right|\) 有最小值 \(1\)。

例如:若 \(x\) 为实数,则当 \(x=\underline{~~~~~~}\) 时,求 \(\left| x+1\right|+\left| x-3\right|+\left| x-7\right|\) 有最小值。

解法一:利用三角不等式,

\(\begin{array}{ll}\because\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right| &= \left| {x + 1} \right| + \left| {7 – x} \right| + \left| {x – 3} \right| \\&\ge \left| {\left( {x + 1} \right) + (7 – x)} \right| + \left| {x – 3} \right| = 8 + \left| {x – 3} \right|\end{array}\)

,等号成立时,\((x+1)(7-x)\ge 0\),即 \((x+1)(x-7)\le 0\),得 \(-1\le x\le 7\),

所以,在 \(x=3\) 时,\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right|\) 有最小值 \(8\)。

解法二:直接考虑中位数的概念,令 \(x+1=0,~x-3=0,~x-7=0\),得 \(x=-1,~3,~7\),此三数的中位数为 \(3\),因此,在 \(x=3\) 时,\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right|\) 有最小值 \(8\)。

解法三:考虑去绝对值,令

\(\begin{array}{ll}y &= \left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right| \\&= \left\{ \begin{array}{l} x \ge 7,y = (x + 1) + (x – 3) + (x – 7) = 3x – 9\\ 3 \le x < 7,y = (x + 1) + (x – 3) + (7 – x) = x + 5\\ – 1 \le x < 3,y = (x + 1) + (3 – x) + (7 – x) = 11 – x\\ x < – 1,y = ( – x – 1) + (3 – x) + (7 – x) = – 3x + 9 \end{array} \right.\end{array}\)

实数的三角不等式

从图形中可以看出,在 \(x=3\) 时,\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right|\) 有最小值 \(8\)

数学思考:已知十个实数 \(x_1,~x_2,…,x_{10}\),若满足 \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + … + \left| {{x_{10}}} \right| = 10\),
求 \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| + \left| {{x_2} – {x_3}} \right| + … + \left| {{x_{10}} – {x_1}} \right|\) 的最大值               。

参考解法:

因为

\(\begin{array}{ll}\left| {{x_1} – {x_2}} \right| + \left| {{x_2} – {x_3}} \right| + … + \left| {{x_{10}} – {x_1}} \right| &\le \left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right) + \left( {\left| {{x_2}} \right| + \left| {{x_3}} \right|} \right) + …(\left| {{x_{10}}} \right| + \left| {{x_1}} \right|) \\&= 2\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + … + \left| {{x_{10}}} \right|} \right) \\&= 2 \times 10 = 20\end{array}\)

,最大值成立时,可取

\(\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8},{x_9},{x_{10}}} \right) = (1, – 1,1, – 1,1, – 1,1, – 1,1, – 1)\)


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